RUMUS LUAS LAYANG-LAYANG DAN BELAH KETUPAT

1. Rumus Layang-Layang

Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.

Rumus Layang-layang

Keliling

K = 2\cdot s_1 + 2\cdot s_2

Luas

L= \tfrac{1}{2} \cdot d_1\cdot d_2

2. Rumus Belah Ketupat

Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

Belah ketupat adalah sebuah segi empat yang diperoleh dengan mempertemukan alas dua segitiga sama kaki yang kongruen.

Dari gambar di atas bisa dilihat bahwa a = d1 dan t = ½ d2

Karena luas segitiga adalah Ls = ½ at maka luas belah ketupat adalah

L = 2 Ls = at = d1. ½ d2 = ½ d1.d2

 

 

FUNGSI KUADRAT

1. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum : f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan nyata serta a ≠0
2. Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah – langkah menggambar grafik fungsi :

  1. Tentukan koordinat titik potong terhadap sumbu X (y = 0)
  2. Tentukan koordinat titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)
  3. Tentukan koordinat titik puncak (x0 , y0) dengan x0 = – b/2a dan y0 = f(x0) atau y0 = – D/4a

Perhatikan koefisien x2, yaitu a

  1. a > 0 berarti grafik terbuka ke atas
  2. a < 0 berarti grafik terbuka ke bawah

3.  Kedudukan Garis g terhadap Grafik Fungsi Kuadrat
Persamaan garis g : y = mx + k

Dengan mensubstitusikan persamaan garis g ke fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c akan diperoleh persamaan kuadrat ax2  + (b – m)x + (c – k) = 0. Dari persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan kedudukan garis g terhadap grafik fungsi kuadrat, yaitu :

i.  Berpotongan di dua titik memotong apabila D > 0
ii. Berpotongan di satu titik (menyinggung) apabila D = 0

iii. Tidak berpotongan (terpisah) apabila D < 0

4.  Menentukan Rumus Fungsi Kuadrat
1.  Fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (x1 , 0) dan (x2 , 0) berbentuk :
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
2. Fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (p,q) berbentuk :
f(x) = a(x – p)2 + q
Contoh soal mengenai fungsi kuadrat :
1.  Titik potong kurva y = x2 – 4x – 5 dengan sumbu X adalah ….
2.  Garis y = 2x + n tidak memotong parabola y = x2 – 2x – 3 apabila nilai n memenuhi ….

OPERASI BENTUK ALJABAR

 

Operasi pada bentuk aljabar meliputi :

  1. Penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis
  2. Perkalian suku dua
  3. Pemfaktoran
  4. Pecahan dalam bentuk aljabar
  1. Penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis

Untuk dapat melakukan penjumlahan maupun pengurangan pada suatu bentuk aljabar, maka suku-sukunya harus mempunyai bentuk yang sejenis. Apabila suku-suku bentuk aljabar tersebut tidak sejenis, maka tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh 1. Tentukan hasil penjumlahan 5p – 4q + 8 dan 7p + 9q -10

Jawab : suku yang sejenis adalah 5p dan 7p, -4q dan 9q, 8 dan -10

Maka, 5p – 4q + 8 + 7p + 9q – 10 = (5p + 7p) + (-4q + 9q) + (8 + (-10))

= 12p + 5q + (-2)

= 12p + 5q – 2

Contoh 2. Tentukan hasil pengurangan 8x2 – 6x dari 15x2 – 2x

Jawab : suku yang sejenis adalah 8x2 dan 15x2, -6x dan -2x

Maka, 15x2 – 2x – 8x2 – 6x = (15x2 – 2x) – (8x2 – 6x)

= 15x2 – 2x – 8x2 + 6x

= 15x2 – 8x2 – 2x + 6x

= 7x2 + 4x

2. Perkalian suku dua

Perkalian pada suku dua dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif.

Contoh 1. (3x – 5) (x + 7) = 3x (x + 7) -5(x + 7)

= 3x2 + 21x -5x -35

= 3x2 + 16x – 35

Contoh 2. (4p + q) (2p – 8q) = 4p (2p – 8q) + q (2p – 8q)

= 8p2 – 32pq + 2pq – 8q2

= 8p2 – 30pq – 8q2

3. Pemfaktoran

Beberapa macam bentuk pemfaktoran antara lain adalah :

  1. ax + ay = a (x + y)
  2. x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y)
  3. x2 – y2 = (x + y) (x – y)
  4. x2 + 10x + 21 = (x + 7) (x + 3)
  5. 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2) (x -2)

Contoh 1. 4x + 6y = 2 (2x + 3y)

Contoh 2. x2 – 7x 18 = (x + 2) (x – 9)

4. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

Perlu diingat bahwa pada suatu pecahan, termasuk pecahan bentuk aljabar, penyebut dari pecahan itu tidak boleh 0 (nol). Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan, jika penyebut dari masing-masing pecahan tidak sama, maka penyebut dari pecahan itu harus disamakan.

Contoh 1.

Contoh 2.

Beberapa contoh soal yang berkaitan dengan Operasi Bentuk Aljabar

  1. Bentuk 4x2 – 9y4 dapat difaktorkan menjadi ….
  2. Bentuk sederhana dari

3.  Hasil dari (3x – 2) (4x – 5) = …..

4.  Pemfaktoran dari 49a2 – 25b2 = …..

5.  Bentuk sederhana dari

                 

 

OPERASI HITUNG BILANGAN

Rangkuman singkat mengenai sifat-sifat operasi hitung bilangan.

  1. Sifat Pertukaran ( Komutatif )

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pertukaran / sifat komutatif, yaitu :

a + b = b + a

a x b = b x a

Contoh :

  1. Sifat Komutatif dalam penjumlahan bilangan
    • 1 + 3 = 3 + 1 = 4
    • 5 + 3 = 3 + 5 = 8
  2. Sifat Komutatif dalam perkalian bilangan
    • 5 x 7 = 7 x 5 = 35
    • 3 x 9 = 9 x 3 = 27
    • 2. Sifat Pengelompokan ( Asosiatif )

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pengelompokan / sifat asosiatif,  yaitu :

(a + b ) + c = a + ( b + c )

(a x b ) x c = a x ( b x c )

Contoh :

  1. Sifat Asosiatif dalam penjumlahan bilangan
    1. 5 + 4 + 3 = (5 + 4 ) + 3 = 12

= 5 + ( 4 + 3 ) = 12

2.  6 + 2 + 4 = (6 + 2 ) + 4 = 12

= 6 + (2 + 4 ) = 12

  1. Sifat Asosiatif dalam perkalian bilangan
    1. 4 x 5 x 6 = (4 x 5 ) x 6 = 120

= 4 x (5 x 6 ) = 120

2. 3 x 6 x 8 = (3 x 6 ) x 8 = 144

= 3 x ( 6 x 8 ) = 144

3. Sifat Penyebaran ( Distributif )

Sifat penyebaran / distributif  perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan, yaitu :

a x ( b + c ) = (a x b ) + (a x c )

a x ( b – c ) = (a x b ) – (a x c )

Contoh :

  1. Sifat Distributif perkalian terhadap penjumlahan
    1. 10 x (3 + 7 ) = (10 x 3 ) + (10 x 7 )
    2. 25 x (10 + 5) = (25 x 10 ) + (25 x 5 )
  2. Sifat Distributif perkalian terhadap pengurangan
    1. 9 x ( 8 – 2) = (9 x 8 ) – ( 9 x 2 )
    2. 6 x (7 – 5) = (6 x 7) – ( 6 x 5 )

Beberapa contoh soal mengenai sifat-sifat operasi hitung bilangan.

  1. 125 + 275 = …. + 125
  2. 345 + ….. = 220 + 345
  3. 20 x 35 = …. x20
  4. 145 x …. = 25 x 145
  5. …. x420 = 420 x 5
  6. (4 + 6) + 10 = 4 + (…. + 10)
  7. 90 + (56 + 45) = (90 + …) +45
  8. …. +(219 + 21) = (46 + 219) + 21
  9. 8 x (12 x ….) = ( 8 x 12) x 5

10. ….x (5 x 11) = (32 x 5) x 11

11. 121 x (… + 9) = (121 x 11) + (121 x ….)

12. 150 x (…. + ….) = (150 x 8 ) + (150 x 2)

13. 45 x (…. – 5) = (45 x 10) – (45 x ….)

14. 13 x (5-2) = (13 x ….) – (13 x ….)

15. 200 x (4 + …) = (200 x …) + (200 x 6)